एपी // समान्तर श्रेणी // वस्तुनिष्ठ प्रश्न और उत्तर // कक्षा 10 वीं
1. यदि किसी A.P. का सामान्य पद 3n + 5 है तो इसका सार्व अंतर होगा:
Explain:- n . का अलग -अलग मान रखेँ = 0 or 1 or 2 or 3 etc in 3n+5
फिर ,
a1=3n+5=3x0+5=5
a2=3n+5=3x1+5=8
a3=3n+5=3x2+5=11
a4=3n+5=3x3+5=14
अत:, A.P. will be 5,8,11,14.........
अब , d= a2-a1 = 8-5 = 3
2. A.P. 4,20,,26,22,28.....का सार्व अंतर होगा :
3. जब एपी के प्रथम पद 3 तथा सार्व अंतर 3 है तो ए पी के 3 पद होंगे:
4. अनुक्रम 5,7, 9, 11 का कौन - सा पद 27 है?
5. यदि किसी A.P. का छठा और बारहवां पद क्रमशः 13 और 25 है, तो इसका 20वां पद होगा:
6. किसी समांतर श्रेणी का nवाँ पद an = 3 + 4n द्वारा दिया जाता है। सामान्य अंतर है
Explain:- हमारे पास एक हैan = 3 + 4n
∴ a1 = 3 + 4(1) = 7
a2 = 3 +4(2) = 11
∴ d = a2 - a1
11 - 7 = 4
7. यदि p, q, r और s समांतर श्रेणी में हैं तो r - q है
Explain:- चूँकि p, q, r, s समांतर श्रेणी में हैं। (q - p) = (r - q) = (s - r) = d (सामान्य अंतर)
8. यदि एक एपी में तीन संख्याओं का योग 9 है और उनका गुणनफल 24 है, तो संख्याएं हैं
Explain:- मान लीजिए कि तीन संख्याएँ हैंa – d, a, a + d
∴ a – d +a + a + d = 9
⇒ 3a = 9
⇒ a = 3
(a – d) . a . (a + d) = 24
⇒ (3 -d) .3(3 + d) = 24
⇒ 9 – d² = 8
⇒ d² = 9 – 8 = 1
∴ d = ± 1
इसलिए संख्याएं हैं 2, 3, 4 or 4, 3, 2
9. किसी समांतर श्रेढ़ी का (n – 1)वाँ पद 7,12,17, 22,… द्वारा दिया जाता है
Explain:- यहाँ an = 7, d = 12-7 = 5
∴ an-1 = a + [(n – 1) – l]d = 7 + [(n – 1) -1] (5) = 7 + (n – 2)5 = 7 + 5n – 10 = 5n – 3
10. एपी 5, 2, -1, -4, -7 ... का nवां पद है
Explain:- यहाँ a = 5, d = 2 – 5 = -3, an = a + (n – 1)d = 5 + (n – 1) (-3) = 5 – 3n + 3 = 8 – 3n
11. ए.पी. -5, -11, -15,…, -1100 के अंत से 11वाँ पद है
Explain:- यहाँ al = -1100, d = -11 – (-5) = -11 + 5 = – 5
∴ अंत से 11वां पद = a – (n – 1 )d = -1100 – (11 – 1) (-5) = -1100 + 45 = -955
12. उस समांतर श्रेणी के 12 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद an = 3n + 4 . द्वारा दिया गया है
Explain:- यहाँ an = 3n + 4
∴ a1 = 7,
a2 = 10,
a3 = 13
∴ a= 7, d = 10 – 7 = 3
∴ S12 = 12/2[2 × 7 + (12 – 1) ×3]
= 6[14 + 33]
= 6 × 47 = 282
13. दो अंकों की सभी विषम संख्याओं का योग होता है
Explain:- सभी दो अंकों की विषम संख्याएँ 11,13,15,… 99 हैं, जो एपी में हैं क्योंकि 90 दो अंकों की संख्याएँ हैं जिनमें से 45 संख्याएँ विषम हैं और 45 संख्याएँ सम हैं
∴योग = 45/2[11 + 99]
= 45/2 × 110
= 45 × 55 = 2475
14. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग है
Explain:- आवश्यक योग = 1 + 3 + 5 + … + n पदों तक।
यहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2
Sum = n/2[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= n/2[2 + 2n – 2]
= n/2 × 2n = n²
15. यदि किसी समांतर श्रेणी का (p + q)वाँ पद m है और (p - q)वाँ पद n है, तो pवाँ पद है
Explain:-माना a प्रथम पद है और d सार्व अंतर है
∴ ap + q = m
ap – q = n
⇒ a + (p + q – 1)d = m = …(i)
⇒ a + (p – q – 1)d = n = …(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
2a + (2p – 2)d = m + n
⇒ a + (p -1)d = m+n/2 …[2 से भाग देना
∴ ap = m+n/2
16.यदि a, b, c एपी में हैं तो a−b/b−c बराबर . है
Explain:-चूँकि a, b, c are in A.P.
∴ b – a = c – b
⇒ b−a/c−b = 1
⇒ a−b/b−c = 1
17. यदि a, b, c, d, e एपी में हैं, तो a - 4b + 6c - 4d + e का मान है
Explain:- माना A.P. का उभयनिष्ठ अंतर x . है
∴ b = a + x, c = a + 2x, d = a + 3x and e = a + 4x
दिया गया समीकरण a-4b + 6c-4d + e
= a – 4(a + x) + 6(A + 2x) – 4(a + 3x) + (a + 4x)
= a – 4a – 4x + 6a + 12x – 4a – 12x + a + 4x
= 8a – 8a + 17x – 17x
= 0
18. एपी 4, 9,14, …, 254 के अंत से 10वां पद है
Explain:- यहाँ , an = 254, d = 9-4 = 5
∴ अंत से 10वां पद = 254 – (10 – 1 )5 = 254 = 9(5) = 254 – 45 = 209
19. यदि 2x, x + 10, 3x + 2 समांतर श्रेणी में हैं, तो x बराबर है
Explain:- चूँकि 2x, x + 10 और 3x + 2 समांतर श्रेणी में हैं।
∴ 2(x + 10) = 2x + (3x + 2) {a1+a3 = 2a2}
⇒ 2x + 20 = 5x + 2
⇒ 2x – 5x = 2 – 20
⇒ 3x = 19 ⇒ x = 6
20. 2 और 100 के बीच 3 से विभाज्य सभी विषम पूर्णांकों का योग है
Explain:- संख्याएं हैं 3, 9,15, 21, …, 99
यहाँ a = 3, d = 6 and an = 99
∴ an = a + (n – 1 )d
⇒ 99 = 3 + (n – 1) x 6
⇒ 99 = 3 + 6n – 6
⇒ 6n = 102
⇒ n = 17
योग = n/2[a + an]
= 17/2[3 + 99]
= 17/2 × 102
= 867
21.यदि किसी समांतर श्रेणी के 7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुना के बराबर है, तो 18वां पद है
Explain:- हमारे पास है 7a7 = 11a11
⇒ 7(a + 6d) = 11(a + 10d)
⇒ 7a + 42d = 11a + 110d
⇒ 4a = -68d
⇒ a = -17d
∴ a18 = a + 17d
= -17d + 17d = 0
22. यदि p, q, r AP में हैं, तो p3 + r3 - 8q3 बराबर है
Explain:- ∵ p, q, r are in AP.
∴ 2q = p + r
⇒ p + r – 2q = 0
∴ p3 + r3 + (-2p)3 = 3 × p × r × -2q [a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3 abc . का उपयोग करके
⇒ p3 + r3 – 8q3 = -6pqr.
23. एक AP में, यदि a = 3.5, d = 0, n = 101, तो an होगा
Explain:- a101 = 3.5 + 0(100) = 3.5
24. संख्याओं की सूची -10, -6, -2, 2,… है।
25. दो एपी में समान सामान्य अंतर है। . इनमें से एक का प्रथम पद -1 है और दूसरे का -8 है। तो उनके चौथे पदों के बीच का अंतर है
Explain:- a4 – b4 = (a1 + 3d) – (b1 + 3d) = a1 – b1= – 1 – (-8) = 7
26. एक AP में, यदि d = -2, n = 5 और an = 0, तो a का मान होता है
Explain:- d = – 2, n = 5, an = 0
∵ an = 0
⇒ a + (n – 1)d=0
⇒ a + (5 – 1)(- 2) = 0
⇒ a = 8
सही विकल्प है (d).
27. यदि किसी AP का सार्व अंतर 3 है, तो a20 - a15 है
Explain:- सामान्य अंतर, d = 3
a20 – a15
= (a + 19d) – (a+ 14d)
= 5d
=5 × 3
= 15
`
28. AP √18, √50, 98, …….. का अगला पद है
Explain:- √18, √50, √98, …..
= 3√2, 5√2, 7√2, ……
∴ अगला पद है 9√2 = √162
29. AP 1/p , 1-p/p , 1-2p/p ...... का सामान्य अंतर
Explain:- सामान्य अंतर = a2 – a1
30. यदि किसी AP का nवाँ पद (2n +1) है, तो इसके प्रथम तीन पदों का योग है
Explain:- a1= 2 × 1 + 1 = 3,
a2 = 2 × 2 + 1 = 5,
a3 = 2 × 3 + l= 7
∴ योग = 3 + 5 + 7 = 15